Hvordan beregne øyeblikkelig hastighet

Hastigheter definert som hastigheten til et objekt i en gitt retning. I mange vanlige situasjoner, for å finne hastighet, bruker vi ligningen v = s / t, der v er lik hastighet, s tilsvarer den totale forskyvningen fra objektets startposisjon, og t tilsvarer tiden som har gått. Imidlertid gir dette teknisk sett bare objektets gjennomsnitt hastighet over stien. Ved hjelp av kalkulator er det mulig å beregne et objekts hastighet når som helst langs banen. Dette kalles øyeblikkelig hastighet og det er definert av ligningen v = (ds) / (dt) , eller med andre ord, derivatet av objektetgjennomsnittlig hastighetligning.

Fremgangsmåte

Del en av 3: Beregner øyeblikkelig hastighet

1. en Start med en ligning for hastighet når det gjelder forskyvning. For å få et objekts øyeblikkelige hastighet, må vi først ha en ligning som forteller oss dens posisjon (når det gjelder forskyvning) på et bestemt tidspunkt. Dette betyr at ligningen må ha variabelen s på den ene siden av seg selv og t på den andre (men ikke nødvendigvis av seg selv), slik:
   

   s = -1,5t²+ 10t + 4

   størrelse på racquetball

   • I denne ligningen er variablene:

     Forskyvning = s . Avstanden objektet har gått fra utgangsposisjonen. For eksempel, hvis et objekt går 10 meter fremover og 7 meter bakover, er dets totale forskyvning 10 - 7 = 3 meter (ikke 10 + 7 = 17 meter).

     Tid = t . Selvforklarende. Vanligvis målt i sekunder.

2. 2 Ta ligningens derivat. Dederivatav en ligning er bare en annen ligning som forteller deg hellingen til et gitt tidspunkt. For å finne derivatet av forskyvningsformelen, skiller du funksjonen med denne generelle regelen for å finne derivater: Hvis y = a * xⁿ, Derivat = a * n * x^n-1 Denne regelen brukes på hvert begrep på 't'-siden av ligningen.
   • Med andre ord, start med å gå gjennom 't' siden av ligningen din fra venstre til høyre. Hver gang du når en 't', trekker du 1 fra eksponenten og multipliserer hele begrepet med den opprinnelige eksponenten. Eventuelle konstante termer (termer som ikke inneholder 't') vil forsvinne fordi de multipliseres med 0. Denne prosessen er faktisk ikke så vanskelig som den høres ut - la oss utlede ligningen i trinnet ovenfor som et eksempel:
     

     s = -1,5t²+ 10t + 4
     (2) -1,5t^(2-1)+ (1) 10t^elleve+ (0) 4p⁰
     -3т^en+ 10t⁰
     -3t + 10

     
     
     

3. 3 Erstatt 's' med 'ds / dt. 'For å vise at den nye ligningen vår er en derivat av den første, erstatter vi' s 'med betegnelsen' ds / dt '. Teknisk betyr denne notasjonen 'derivatet av s med hensyn til t.' En enklere måte å tenke på dette er bare at ds / dt bare er skråningen til et gitt punkt i den første ligningen. For eksempel for å finne hellingen til linjen laget av s = -1,5t²+ 10t + 4 ved t = 5, vi vil bare koble '5' til t i dets derivat.
   • I vårt løpeeksempel skal vår ferdige ligning nå se slik ut:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 4 Plugg inn en t-verdi for den nye ligningen for å finne øyeblikkelig hastighet. Nå som du har den avledede ligningen, er det enkelt å finne øyeblikkelig hastighet når som helst. Alt du trenger å gjøre er å velge en verdi for t og koble den til den deriverte ligningen. For eksempel, hvis vi ønsker å finne den øyeblikkelige hastigheten ved t = 5, vil vi bare erstatte '5' for t i den deriverte ds / dt = -3 + 10. Så vil vi bare løse ligningen slik:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 meter / sekund

   • Merk at vi bruker etiketten 'meter / sekund' ovenfor. Siden vi har med forskyvning i form av meter og tid i form av sekunder og hastighet generelt bare er forskyvning over tid, er denne etiketten passende.
   Annonse

Del 2 av 3: Estimere øyeblikkelig hastighet grafisk

1. en Graf objektets forskyvning over tid. I avsnittet ovenfor nevnte vi at derivater bare er formler som lar oss finne hellingen når som helst for ligningen du tar derivatet for. Faktisk, hvis du representerer et objekts forskyvning med en linje i en graf, skråningen på linjen ved et gitt punkt er lik objektets øyeblikkelige hastighet på det punktet.
   • For å tegne et objekts forskyvning, bruk x-aksen til å representere tid og y-aksen for å representere forskyvning. Så bareplottpoengved å koble verdier for t til forskyvningsligningen, få s-verdier for svarene dine, og merke t, s (x, y) punktene på grafen.
   • Merk at grafen kan strekke seg under x-aksen. Hvis linjen som representerer objektets bevegelse synker under x-aksen, representerer dette objektet som beveger seg bak der det startet. Generelt vil ikke grafen din strekke seg bak y-aksen - vi måler ikke ofte hastighet for objekter som beveger seg bakover i tid!
2. 2 Velg ett punkt P og et punkt Q som er i nærheten av det på linjen. For å finne en linjes skråning på et enkelt punkt P, bruker vi et triks kalt å ta en grense. Å ta en grense innebærer å ta to punkter (P, pluss Q, et punkt i nærheten av det) på den buede linjen og finne stigningen på linjen som knytter dem igjen og igjen når avstanden mellom P og Q blir mindre.
   • La oss si at forskyvningslinjen vår inneholder punktene (1,3) og (4,7). I dette tilfellet, hvis vi vil finne skråningen på (1,3), kan vi stille (1,3) = P og (4.7) = Q .
3. 3 Finn stigningen mellom P og Q. Hellingen mellom P og Q er forskjellen i y-verdier for P og Q over forskjellen i x-verdier for P og Q. Med andre ord, H = (og_Q- Y_P) / (x_Q- x_P) , hvor H er skråningen mellom de to punktene. I vårt eksempel er hellingen mellom P og Q:
   

   H = (og_Q- Y_P) / (x_Q- x_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1.33

   
   
   

   hvordan måle tennisrackets grepstørrelse

4. 4 Gjenta flere ganger, og flytt Q nærmere P. Målet ditt her er å gjøre avstanden mellom P og Q mindre og mindre til den kommer nær et enkelt punkt. Jo mindre avstanden mellom P og Q blir, desto nærmere vil skråningen til de små linjesegmentene være skråningen på punkt P. La oss gjøre dette et par ganger for vårt eksempel på ligning, ved å bruke punktene (2,4,8), (1,5 , 3.95), og (1.25,3.49) for Q og vårt opprinnelige punkt på (1,3) for P:
   

   Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1.8
   
   Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (.95) / (. 5) = 1.9
   
   Q = (1.25,3.49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (.49) / (. 25) = 1,96

5. 5 Beregn skråningen et uendelig lite intervall på linjen. Når Q kommer nærmere og nærmere P, vil H komme nærmere og nærmere skråningen på punkt P. Til slutt, i et uendelig lite intervall, vil H være lik skråningen på P. Fordi vi ikke er i stand til å måle eller beregne en uendelig lite intervall, vi estimerer bare stigningen på P når det er klart fra punktene vi har prøvd.
   • I vårt eksempel, da vi flyttet Q nærmere P, fikk vi verdier 1,8, 1,9 og 1,96 for H. Siden disse tallene ser ut til å nærme seg 2, kan vi si at 2 er et godt estimat for skråningen ved P.
   • Husk at skråningen på et gitt punkt på en linje er lik derivatet av linjens ligning på det punktet. Siden linjen viser objektets forskyvning over tid, og som vi så i avsnittet ovenfor, er et objekts øyeblikkelige hastighet avledet av forskyvningen på et gitt punkt, kan vi også si at 2 meter / sekund er et godt estimat for øyeblikkelig hastighet ved t = 1.
   Annonse

Del 3 av 3: Eksempel på problemer

1. en Finn øyeblikkelig hastighet ved t = 4 gitt forskyvningsligningen s = 5t³- 3t²+ 2t + 9. Dette er akkurat som eksemplet vårt i første del, bortsett fra at vi har å gjøre med en kubisk ligning i stedet for en kvadratisk ligning, slik at vi kan løse det på samme måte.
   • Først tar vi ligningens derivat:
     

     s = 5t³- 3t²+ 2t + 9
     s = (3) 5t^{(3 - 1)}- (2) 3p^(tjueen)+ (1) 2t^{(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
     15t(2)- 6t(en)+ 2t(0)
     15t(2)- 6t + 2}

   • Deretter kobler vi inn verdien vår for t (4):
     

     s = 15t⁽²⁾- 6t + 2
     15 (4)⁽²⁾- 6 (4) + 2
     15 (16) - 6 (4) + 2
     240 - 24 + 2 = 218 meter / sekund

     
     
     

2. 2 Bruk grafisk estimering for å finne øyeblikkelig hastighet ved (1,3) for forskyvningsligningen s = 4t²- t. For dette problemet bruker vi (1,3) som vårt P-punkt, men vi må finne noen andre punkter i nærheten av det for å bruke det som Q-poeng. Så er det bare å finne H-verdiene og gjøre en estimering.
   • La oss først finne Q-poeng ved t = 2, 1.5, 1.1 og 1.01.
     

     s = 4t²- t
     
     t = 2: s = 4 (2)²- (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, altså Q = (2,14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5)²- (1.5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, altså Q = (1,5,7,5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1)²- (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, altså Q = (1.1,3.74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01)²- (1.01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, altså Q = (1.01,3.0704)

   • Deretter, la oss få våre H-verdier:
     

     Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = elleve
     
     Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4.5) / (. 5) = 9
     
     Q = (1.1,3.74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (.74) / (. 1) = 7.3
     
     Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (.0704) / (. 01) = 7.04

   • Siden H-verdiene våre ser ut til å komme veldig nær 7, kan vi si det 7 meter / sekund er et godt estimat for øyeblikkelig hastighet ved (1,3).
   Annonse

Samfunnsspørsmål og svar

Søk Legg til nytt spørsmål

• Spørsmål Hva er forskjellen mellom øyeblikkelig og gjennomsnittlig hastighet? Øyeblikkelig er for øyeblikket, mens gjennomsnittet er gjennomsnittet av hele tidsperioden.
• Spørsmål Hvordan beregner jeg øyeblikkelig akselerasjon? Øyeblikkelig akselerasjon kan betraktes som verdien av derivatet av øyeblikkelig hastighet. For eksempel: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Hvis vi vil vite den øyeblikkelige akselerasjonen ved t = 4, deretter a (4) = 30 * 4-6 = 114 m / (s ^ 2)
• Spørsmål Når er øyeblikkelig hastighet og gjennomsnittshastighet den samme? Øyeblikkelig hastighet forteller deg hastigheten til et objekt på et øyeblikk. Hvis objektet beveger seg med konstant hastighet, vil gjennomsnittshastigheten og øyeblikkelig hastighet være den samme. I alle situasjoner er det ikke sannsynlig at de vil være de samme.

Ubesvarte spørsmål

• Hvordan kan jeg finne hastighet null mellom to ganger? Svar
• Hvordan kan jeg finne hastighet null mellom to ganger? Svar
• Hvordan beregner jeg 5t + 12t ^ 2? Svar

Still et spørsmål 200 tegn igjen Inkluder e-postadressen din for å få en melding når dette spørsmålet blir besvart. Sende inn
Annonse

Video . Ved å bruke denne tjenesten kan noe informasjon deles med YouTube.

Tips

• For å finne akselerasjon (hastighetsendringen over tid), bruk metoden i del 1 for å få en derivatligning for forskyvningsfunksjonen din. Ta deretter et annet derivat, denne gangen av din derivative ligning. Dette vil gi deg en ligning for å finne akselerasjon på et gitt tidspunkt - alt du trenger å gjøre er å plugge inn verdien din for tid.
• Ligningen som forholder seg Y (forskyvning) til X (tid) kan være veldig enkel, som for eksempel Y = 6x + 3. I dette tilfellet er hellingen konstant og det er ikke nødvendig å finne et derivat for å finne hellingen, som er, etter Y = mx + b grunnleggende modell for lineære grafer, 6.
• Forskyvning er som avstand, men den har en bestemt retning, dette gjør forskyvning til en vektor og fremskynder en skalar. Forskyvning kan være negativ mens avstand bare vil være positiv.

Annonse Send et tips Alle tipsinnleveringer blir nøye gjennomgått før de blir publisert. Takk for at du sendte et tips til gjennomgang!